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2010年10月3日 星期日

Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(二)

(延續前文 Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(一) )

二次多項次法是否優於錐形體公式法?這點也可以很容易地從二次多項次法的特殊情況檢驗,即於A[i]、A[i+1]、A[i+2]區間的相鄰截面積間距均為等距的d且面積變化函數符合錐形體分佈時,則A[i]~A[i+2]間的體積和可計算如下。 顯然於此情況之下,二次多項式法的結果可簡化為錐形體公式。
(2010.02.14 修正原錯誤)

其實二次多項式法並非是全新的想法,在各個截面積相鄰間距為等距 d 的特殊情形之下,整個數學式的推導過程及結果,其實就是 "辛普森法則"(Simpson's rule)的結果。朋友可自行參考以下的幾個連結去瞭解,筆者不多作贅述。

這辛普森法則是在數值計算領域中求算連續函數定積分值的一個重要基本方法,當然在工程領域中的土方計算中,也是一個帶狀工程依逐樁號橫斷面積求算總土方量或是面狀區域依等高線求算總土方量的常用方法。朋友可自行依 "earthwork calculation" 關鍵詞再去網搜一下國外的網站,許多重要的商用軟體在各自軟體的技術文件中解釋總土方量計算的數學基礎時,大概免不了會強調該軟體是應用 Simpson's rule 去求算而得的結果。

回到筆者所關切的問題本身,這二次多項式法是否夠好?能否再改進,提出同樣簡單有效且結果更佳的改良算法?

若吾等想以表格表示相鄰截面積 A[i]及 A[i+1]間的體積 Vi ,可以會面臨一個困擾情況。由前文的推導可看出以二次多項式法求算體積,其值可以是考量下一個截面積 A[i+2]的V1計算值,也可以是考量前一個截面積A[i-1]的V2計算值。該如何處理?

若這些離散的截面積值的相鄰間距均為定值 d ,則或許可以採 Vi=(V1+V2)/2 的方式處理,其結果可以寫為下式

但朋友心中是否與筆者有相同的兩點疑惑:
1. 這樣的處理或計算式,至此似乎缺乏強而有力的數學推演,如何證明其合理性或適當性?
2. 若這些離散的截面積值的相鄰間距均非定值,又該怎麼計算?計算式是否會轉變為過於複雜?

筆者認為要解答這兩個問題,必須考量相鄰截面積 A[i]及 A[i+1]間的面積是假設依距離的三次多項式函數分佈,而其推導結果也就是後續文章所要介紹的三次多項式法(筆者暫稱)。
(續文 Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(三) )

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