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2010年10月5日 星期二

Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(三)

(延續前文 Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(二) )

4.  假設截面積 Ai、Ai+1之間的面積變化是距離 s 的三次多項式函數分佈

則 A(s) 可以表示為右式:
因函數包含四個未知係數,必須有四條非線性相依的方程式才能聯立求解,因此將區間前方及後的截面積Ai-1、Ai+2納入考量,並假設於截面積 Ai-1至Ai+2間的面積變化是呈三次曲線函數,則四個截面積分別位於距離Si-1、Si、Si+1、Si+2處的截面積Ai-1 、Ai、Ai+1、Ai+2代入該函數恰提供四條獨立方程式
而截面積 AiAi+1之間的體積 Vi ,可將所求得的四個多項式係數代入經整理後可得下列計算式:

 A1~A2An-1~An間的體積V1Vn-1則改以二次函數法以(36)(37)式計算:
 
 若各相鄰截面積的間距為等距d,則兩相鄰截面積AiAi+1間的累計體積Vi可簡化為(38)式,而A1~A2An-1~An間的體積V1Vn-1則可簡化為(39)(40)式。
上述的計算程序,是基於排除頭尾之外相鄰截面積間的面積變化是假設循三次多項式函數型式分佈,故暫稱此體積計算程序為三次多項式法 (3rd order polynomial method)A1~A2An-1~An間的體積V1Vn-1以梯形公式簡化計算,則體積計算程序暫稱為三次多項式第二型法
 
 三次多項式法因其體積計算式考量目標區間(Ai~Ai+1)的截面積分佈曲線受曲線左右側的截面積Ai-1Ai+2之影響而求得的趨近解(即考量目標區間前後方面積分佈趨勢而得的較佳解),原則上的體積計算結果應優於二次多項式法的計算結果。而該計算的整個程序也可以很容易地於試算表軟體上作檢驗,僅需輸入逐高程或樁號的截面積值即可。
 
而自截面積值A1~An的體積總和,若兩相鄰截面積間距為定值d,則依三次多項式法可整理得(42)式,或依三次多項式第二型法可整理得(43)式。
接著將對這四個方法,即平均斷面法(梯形公式 The Trapezoidal Rule)、錐形體公式(Conic Approximation)、二次多項式法 (辛普森法則 simpson's rule)及筆者自行推導得的三次多項式法(3rd order polynomial method) 一同比較優缺處!

1 則留言:

LY 提到...

精闢分析,瞭解了