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2010年10月6日 星期三

Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(四)

(延續前文 Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(三)  )

本文係對平均斷面法(梯形公式 The Trapezoidal Rule)、錐形體公式(Conic Approximation)、二次多項式法 (辛普森法則 simpson's rule)及筆者自行推導得的三次多項式法(3rd order polynomial method) 的數學原理特性,依筆者觀點概析其相對勝出處。

(一) 線性運算性質上的差異
在工程實務的土方體積計算,各個截面積淨值Ai其實是包含挖方面積及填方面積,即
Ai=Ai_cut+Ai_fill因此若採用的計算程序為線性運算的過程(L(A+B)=L(A)+L(B)),則計算結果與是否依挖方面積及填方面積先計算挖方體積及填方體積後再相加減得總體積值、或直接依截面積淨值計算得總體積值之計算方法無關。因此,錐形體法的計算程序包含開方項次故不符合線性運算的要求,體積計算程序的安排必須依挖方面積及填方面積計算挖方體積及填方體積後再相加減得淨體積值,Vi=Vi_cut+Vi_fill

(二)體積總和公式各截面積係數的簡易性
截面積值 A1~An體積總和,若兩相鄰截面積間距為定值 d,則四個方法計算式可整理如下:

從中可以清楚看出一些特性:
1. 以體積總和視之,梯型公式與三次多項式法計算結果差異為
當截面積總數愈多時,兩者所計算得的總體積差異不大,其差異值僅與最初三項及最末三項有關。但各個區間的 Vi值或是Vi_cutVi_fill值,個方法的各別差異則不可忽視。
2. 依錐形體公式求得得的總挖方體積和總填方體積量,明顯較梯形公式的計算結果少。
3. 按辛普森法則(即前述的二次多項式法)計算總體積時,各截面積之係數必須依截面積序號而交互調整,需特別留意。
 
(三)目標區段前後的函數變化特性
三次多項式法相較於梯形公式,明顯地將區段前後的截面積值納入考量,即考量到面積分佈函數向區段兩側延伸的性質,各個區段體積Vi的計算結果應優於梯形公式。
三次多項式法相較於二次多項式法,則又平衡地將前後側截面積值納入考量,計算結果不會因截面積序號安排(奇數或偶數)而有偏異,各個區段體積Vi的計算結果應優於二次多項式法。

結論
綜合上述三點比較分析,筆者所推導的三次多項式法在數學原理上為四個方法裏頭的最佳計算程序,優於採梯形公式計算的平均斷面法,以及優於二次多項式法(辛普森法則)。即使在各離散截面積值不等距分佈的情況下,三次多項式法仍具有同等簡易快速的特性。

接著將於 Civil 3D 的環境之下測試及驗證上述的結論的真偽!(朋友若有興趣,亦可自行動手檢驗)
(續文 Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(五))

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