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2010年10月11日 星期一

Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(六)

(延續前文 Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(五) )

前文從總體積計算的觀點比較四個算法的優勝處,雖然筆者所暫稱的三次多項式法的結果似乎有勝出的表現,但逐個Ai、Ai+1區段間的體積計算結果 Vi值是否也有同樣亮眼的表現呢?本文即對於此點作相關的比較。

為了得到組合體積的各區段體積值 Vi,在本例的條件之下是可以採矩形框選的方式去逐段設定邊界值後以地形性質視窗讀取各區段的挖方、填方、體積淨值的讀據後,另填於試算表檔案中。就本例的情況,依序作個10遍即可,尚不會太費時。

不過筆者則採取使用 EarthworkConstructDrawing.dvb 工具輔助計算得到每20米間距區段間相關體積的讀據:以 EG1為原始地形(基準地形)、EG2為設計地形(比較地形),以(50,100,0)、(250,200,0)為對角點建立的矩形框為計算範圍以及以該矩形框的左下角點為計算基準點,網格間距為橫縱等距20m,計算方法則選用精確算法(理由則在筆者先前的文章提過),完成後圖面繪製如附圖所示。圖中下方的填方及挖方數據,即為橫向20m間距的體積小計,為依組合體積所作的"準確值",也為其它方法計算結果的比較基準。
將其讀據與依各取樣線之填方面積、挖方面積一齊表列如下表。

而以上列讀據為基礎且排除錐形體公式之外的三種土方計算程序之計算結果則彙整如下表。表中灰底表格位為各計算法之結果值,淺藍底格位為各結果值與以dvb 程式計算所得結果的差異值,最下方的格位則為各差異與以dvb 程式計算所得結果比較的百分比。

接著就專注於各方法所得結果之差異量的比較:
1. 就各區段的淨土方體積 (Vi)計算結果而言,三次多項式法的差異值大部份都小於絶對值 9 以下,少數幾處較差者也小於絶對值20。而平均斷面法的差異值則落於22.0~23.0之間及77.0~78.0之間的兩個範圍。三次多項式法的計算結果,顯然勝出。
2. 就各區段的填方、挖方體積計算結果而言,樁號值 100 以後的各個剖面應無填方數量,但三次多項式法則於100~120m區段及160~180m區段竟有"負"填方值產生。除此之外,整體而言的三次多項式法計算結果之各差異量絶對值,亦小於平均斷面法計算結果之各差異量絶對值。

依筆者原先於Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(三) 文中所擬的三次多項式計算程序,未考量到若區段的兩側截面積值均為 0 的情形( Ai=Ai+1=0)。此情況下會有Ai-1 或 Ai+2截面積值納入計算式而有"穿透過遠"的不合理情形。因此於填方計算或挖方計算時,若區段兩側為0,而向前或向後一個截面積值尚非 0 時即會產生仍有"負"填方值或"負"挖方值的不合理計算結果。

不過這點很容易改善,顯然只要三次多項式法計算程序將區段兩側的截面積值均為 0 時的體積計算值指定為 0 即可。而該區段的淨體積值 Vi 則依填方體積、挖方體積計算結果相減而得。姑且將此修正的三次多項式法計算程序稱為"三次多項式第三型法",或稱為"三次多項式標準算法",則其結果與準確值的比較如下表所示。
(表中尚有一個"負挖方"值( -6.82),改進方法則是直接取絶對值以避免之!是否合理,還得經更多的案例測試。)

結論:
無論是數學原理或是實例計算的結果,初步都傾向於支持三次多項式法優於一般所認知的平均斷面法的土方計算結果的論點。而三次多項式標準算法,則為筆者最建議使用於帶狀工程土方計算的計算程序。

到訪的朋友們,是否會有個猜想:除了這個似乎較優的三次多項式計算程序之外,是否尚有其它的計算程序可以被設計出來?

筆者的回答是:有的,而且不只一種。下篇文章將分享筆者依數學假設所構想的另兩種計算程序,符合數學原理但有些悖離工程實務常理,實務中尚未且未來也可能不會納入的計算程序,但可以透過 Civil 3D 這個軟體工具檢驗其合邏輯性。下篇文章也會是近日來幾篇討論帶狀工程土方計算程序個人看法的最後一篇。
(待續...)

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