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2011年10月20日 星期四

Civil 3D 地形物件與土方計算之關係 - 數學原理探討(一)

先前曾分享關於剖面法土方計算公式之數學原理探討系列文章 [Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(一) ~Civil 3D與土方計算–從數學原理談起!(六)],接著將撰寫數篇關於方格法(坵塊法)土方計算數學原理的文章,目的是探索 Civil 3D 軟體工具在數值地形生成的數學基礎,並希望能進一步討論傳統所謂三稜柱、四稜柱法之改善空間。

建立不規則三角網(TIN)地面物件是使用Civil 3D軟體的基本功,其背後的數學理筆者也曾撰文 Civil 3D 關於TIN地面物件生成原理概說 作概要的分享。而一個好的 TIN 地形,可能還得透過 Civil 3D 的編輯工具"地面平滑化"的運作方能有一個合理的結果。其中,以自然鄰點法 (NNI, Natural neighbor interpolation)於地形範圍中補充點位高程資料以達到合理平滑化的目的,是一個標準且常用的作法。簡要的解釋 NNI method,即是以原TIN地形的 TIN頂點為基礎建構對應的 Voronoi tessellation,再將補充點位納入為TIN頂點繪出補充點位處的獨立 Voronoi diagram 並與原Voronoi tessellation 交集,分析那些TIN頂點為鄰近點及取得交集面積資料以作為高程內插計算的權重值,最後按鄰近高程的權重比例相乘加即得內插(期望)高程值。

對具土木工程背景的朋友而言,Voronoi tessellation (Voronoi diagram)可能是一個非常陌生的名詞。其實它在地理學及水文學上在空間資料分佈處理的應用即是熟知的徐昇法或是徐昇氏多邊形(Thiessen polygons),即以TIN各邊中垂線交會而成的圖形。朋友可連結康乃爾大學版的Voronoi Driagam /Delaunay Triangulation 開啟示範程式,隨意在矩形框內點按作為平面TIN頂點,觀察一下其所生成的 Delaunay Triangulation 與 Voronoi Diagram 的關係,甚至還可以觀察其empty circle 的繪製。附圖即為筆者隨意點按生成的結果,圖中白色線即構成 Delaynay三角網,色塊鑲嵌圖則為所對應的 Voronoi tessellation。

至此,希望使用 Civil 3D這類軟體工具的朋友們能對 NNI 補點法能有些基礎認識,改善TIN數值地形的建模品質。

然而在現實中因似尚未有規範明訂如何釐清 TIN 數值地形建構的品質要求,實務中的土方計算仍常以剖面累算法(平均剖面法)或方格坵塊為主。其中方格坵塊法即是以方格網交會點的高程為已知資料,計算(估算)每一方格坵塊的體積值。若以上圖為例,將其視為一個矩形坵塊,其坵塊內的體積係以該矩形的四個頂點為僅有的高程資料計算而得,其坵塊範圍中其它點位高程資料則均忽視不計。計算的特性上,剖面累算法(平均剖面法)或方格坵塊的計算結果均為近似值,而非數值模型體積的真值。

其實以方形網格的高程資料所建立的TIN地形僅為TIN的一種特殊情形:由於在 z=0 平面投影上有許多四點共圓的情況,所建構的 Delaunay Triangulation 並不具唯一性;不過其 Voronoi tessellation 則仍具唯一性。有興趣的朋友,不妨試著在紙上繪製方形網格的 Delaunay Triangulation 及 Voronoi tessellation,並思索一下其有無誘發其它的疑問?

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相關連結:
康乃爾大學版的Voronoi Driagam /Delaunay Triangulation 程式 

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